Es famoso por sus regates y velocidad tanto como por su juego defensivo, ha recibido elogios tanto de periodistas deportivos,2 como de jugadores de diversos clubes de Europa.3 También fue premiado por el diario italiano La Gazzetta dello Sport como "el mejor jugador de la Liga Italiana". En un estudio realizado por la FIFA en 2014, se entregó la nómina de los 10 futbolistas más rápidos del mundo, donde Alexis ocupó el 10º puesto.
En la temporada 2010-11 llegó al punto más alto de su carrera en Italia, jugando para Udinese, conquistó 12 goles en 31 partidos y se convirtió así en el segundo goleador del equipo, detrás de la leyenda del club, Antonio Di Natale 4 Luego de participar en la Copa América 2011, recibió distintas ofertas de clubes cómo el Manchester United,5 S.S.C Napoli,6 Inter de Milán,7 Manchester City,8 Juventus,9 FC Barcelona,10 Real Madrid,11 y Chelsea FC.12 Sin embargo, finalmente el club culé lo fichó por 26 millones de euros (aproximadamente US$43 millones) más 13 millones en variables.13 En su paso en F.C. Barcelona, conquistó 1 Liga, 1 Copa del Rey, 2 Supercopas de España, además sus 2 primeros títulos internacionales, la Supercopa de Europa 2011 y la Copa Mundial de Clubes de 2011. Una de sus mejores actuaciones se produjo en un partido contra el Real Madrid en el año 2013, Sánchez entró desde el banco y anotó un golazo de vaselina en la victoria de su equipo en el Clásico. Esta fue quizás su postal más importante con el cuadro catalán y uno de los goles más importantes en su carrera. Desde ese momento el tocopillano cambió las críticas por elogios a punta de goles, los cuales lo situarían como el segundo máximo anotador del equipo después de Lionel Messi al final del torneo. 14
Su fichaje por el Arsenal F. C. el 2014 a cambio de 38 millones de euros más 4,5 en variables con esto se convirtió en el traspaso más caro de un jugador chileno en la historia, superando así su propia marca cuando fue traspasado al F.C. Barcelona por 26 millones de euros 15 En su primera temporada en el Arsenal F. C. es el goleador con 25 tantos y una de las figuras de los Gunners. 16 Fue elegido como el mejor jugador de la Premier League temporada 2014-2015 en encuesta de la federación inglesa a los hinchas.17 También fue elegido por los votantes como el mejor jugador de la Premier League temporada 2014-2015 del Facebook Football Award.18 Elegido el mejor fichaje de la temporada 2014-2015 en la Premier League según Daily Mail.19 a su gran primera campaña. 20 21 22
Además es internacional absoluto con la Selección de fútbol de Chile.23 . A nivel de categorías inferiores obtuvo el Tercer lugar en el Mundial sub-20 de 2007 en Canadá.24 Con la Selección Absoluta ha jugado el Mundial de 2010 en Sudáfrica, la Copa América de 2011 en Argentina, el Mundial de 2014 en Brasil y la Copa América 2015 en su país natal.
El 4 de julio del año 2015 se coronó campeón de la Copa América con la Selección de fútbol de Chile. Alexis marcó el gol decisivo (4:1 por penales) con el que Chile, tras 99 años desde su primera participación, se corona campeón de esta competición. 25 26
Posee un récord insólito a nivel planetario; es el único jugador en la historia del fútbol profesional en marcar una tripleta o hat-trick en las tres ligas más importantes del mundo (Serie A de Italia, La Liga de España y la Premier League de Inglaterra).
